Wittgenstein on the Anthropological Grounds of Mathematics

Abstract

Ludwig Wittgensteins senere syn på matematikk har vært gjenstand for omfattende debatt innenfor filosofien. Denne avhandlingen tar for seg en kritisk gjennomgang av forskjellige alternative tolkninger av de relevante skriftene, inkludert konvensjonalistiske, formalistiske, og naturalistiske lesninger. Det argumenteres at disse tolkningene på forskjellig vis undervurderer eller overser Wittgensteins dypt antropologiske forståelse av matematikk.

Ifølge tolkningen som er formulert i denne avhandlingen, så Wittgenstein på matematikk som en familie av praksiser som er uløselig knyttet til bredere sosiale og praktiske sammenhenger. Dette står i kontrast til den tradisjonelle oppfatningen av matematikk som en uavhengig, abstrakt teoretisk disiplin. Avhandlingen går grunding inn i Wittgensteins syn på matematikk ved å se på hans tanker om regelfølging, tall, beregning og bevis, og fremstiller et helhetlig bilde av matematikk som dypt forankret i menneskelig praksis.

Videre utforsker avhandlingen sammenhengen mellom matematikk og menneskelig liv ved å støtte seg på Wittgensteins kjente begreper om ‘språkspill’ og ‘livsform’. Begrepet ‘formelle egenskaper ved språkspill’ blir introdusert. Dette er forhold som er mer eller mindre essensielle for et språkspill, sett på et generelt plan, men som ikke nødvendigvis må være til stede i et hvert tilfelle for at spillet skal finne sted. Konseptet ‘livsform’ blir analysert som mønstre av slike egenskaper, og egenskapen ‘ettergivenhet’ (“deference”) – en vilje til å rette seg etter gjeldende prosedyrer – viser seg å være helt vesentlig for matematiske språkspill.

Undersøkelsen av ettergivenhet, og rollen til dette konseptet i Wittgensteins skrifter, bidrar til å klargjøre åpne, iterative regler som del av strukturen til matematiske praksiser, og gir dermed innsikt i matematikkens praksis. Ved å klarlegge denne formelle egenskapen, finner Wittgenstein en ikke-platonistisk måte å omgå radikal konseptuell relativisme på, gjennom å koble matematikkens normativitet til praksiser fremfor abstrakte enheter eller fakta.

Avhandlingen inkluderer en grundig analyse av Wittgensteins sammenligning mellom matematikk og spillet sjakk. Fokuset her er på rollen matematikken spiller i avveielser og beslutninger, i motsetning til sjakk, noe som fremhever matematikk som en integrert del av menneskelige samfunn snarere enn et isolert og avskåret tegnspill. For Wittgenstein forstås matematiske utsagn som både uttrykk for og gjengivelse av regler, og både deres bruk i ren matematikk og deres anvendelse i forskjellige praktiske sammenhenger utgjør del av samme tendens til ettergivenhet som definerer en matematisk livsform. Denne tosidigheten belyses av en dyp parallell med grammatikken til indeksikalsk språk.

Til slutt binder avhandlingen sammen den menneskesentrerte forståelsen av matematikk med Wittgensteins tanker om bevis, som en konseptuelt formativ prosess, samt hans kritiske bemerkninger om generalisering, uendelighet og formalisering. Arbeidet tar for seg den eksisterende litteraturen rundt disse temaene og streber etter å gi en dypere forståelse av matematikkens natur, dens fundament og dens plass i menneskelivet. Det legges grunnlag for videre forskning og diskusjon innen matematikkens filosofi og Wittgensteinstudier.

The significance of Ludwig Wittgenstein’s later writings on mathematics has been a subject of extensive debate within the philosophical community. This thesis undertakes a critical survey of various alternative interpretations of these writings, including conventionalist, formalist, and naturalist readings. It is shown that these interpretations in different ways underappreciate or even neglect Wittgenstein’s anthropological understanding of mathematics.

According to the interpretation developed in this thesis, Wittgenstein conceived of mathematics as a family of human practices which play inextricable roles in broader social and practical contexts. This conception challenges the traditional understanding of mathematics as an independent, abstract theoretical activity. The thesis examines Wittgenstein’s philosophy of mathematics by studying his remarks on rule-following, numbers, calculation, and proof, presenting a cohesive picture of elementary mathematics as fundamentally based on practice.

The thesis also explores the connection between mathematics and human life by drawing on Wittgenstein’s well-known concepts of ‘language game’ and ‘form of life’. The notion of ‘formal properties of language games’ is introduced, which are conditions that are more or less essential to a language game in general but do not amount to strictly necessary or sufficient conditions for the game to take place. The concept of a form of life is analyzed in terms of patterns of such properties, and in particular the formal property of ‘deference’, a willingness to comply with prevailing procedures, is introduced and discussed as an essential feature of mathematical language games.

The exploration of the formal property of deference, in Wittgenstein’s writings, serves to elucidate the structure of open-ended, iterative rules that shape mathematical practices and provides insight into the practical, human-rooted nature of mathematics. It is argued that by clarifying this formal property, Wittgenstein offers a non-Platonist way to circumvent radical conceptual relativism, identifying the source of the normativity of mathematics with the role of calculation and geometry in practice rather than with entities or facts in an abstract realm.

The thesis includes a close examination of Wittgenstein’s later use of the (dis- )analogy between chess and mathematics, focusing on the way mathematical techniques are integrated in people’s lives beyond strictly pure mathematics. Mathematical propositions are understood as both expressing and reproducing rules, with both their explicit articulation and tacit enactment in diverse practical contexts constituting a part of the same tendency of deference, together defining a mathematical form of life. This dual role draws a deep parallel with the grammatical rules of indexical language.

Finally, the thesis ties the anthropological perspective on mathematics to Wittgenstein’s views on the conceptually formative function of proof, along with his critical remarks on generalization, infinity, and formalization. The work engages with the prevailing literature on these topics and aims to provide a comprehensive exploration of the nature of mathematics, its foundations, and its context within human life, offering a basis for further inquiry and debate in both philosophy of mathematics and Wittgenstein studies.