A study of different interactions between solitary waves for fractional Korteweg-de Vries type equations

Abstract

Denne avhandlingen er satt sammen av tre artikler. I den første konstruerer vi $N$-soliton løsninger for den fractional Korteweg-de Vries (fKdV) ligningen $\partial_t u - \partial_x\left(|D|^{\alpha}u - u^2 \right)=0,$ i hele det underkritiske tilfellet $\alpha \in(\frac12,2)$. Mer presist, hvis $Q_c$ er grunntilstandsløsningen knyttet til fKdV som beveger seg med hastighet $c$, da gitt $0<c_1< \cdots < c_N$, beviser vi eksistensen av en løsning $U$ av (fKdV) som tilfredstiller $\lim_{t\to\infty} \| U(t,\cdot) - \sum_{j=1}^NQ_{c_j}(x-\rho_j(t)) \|_{H^{\frac{\alpha}2}}=0,$ hvor $\rho'_j(t) \sim c_j$ som $t \to +\infty$.

Beviset er basert på konstruksjonen gjort av Martel for den generaliserte KdV-ligningen [Amer. J. Math. 127 (2005), s. 1103-1140]) for ikke-lokale ligninger. De største utfordringene i dette arbeidet er knyttet til egenskapene av grunntilstanden $Q_c$. Mer presist, så avtar funksjonen som et algebraisk polynom. Samt, er det utfordringer knyttet til bruken av lokale teknikker (monotomiegenskaper for en del av massen og energien) for en ikke-lokal ligning. For å omgå disse vanskelighetene bruker vi symmetriske og ikke-symmetriske vektede kommutatorestimater. De symmetriske estimatene ble bevist av Kenig, Martel og Robbiano [Annales de l'IHP Analyze Non Linéaire 28 (2011), s. 853-887], mens de ikke-symmetriske estimatene ser ut til å være nye.

I den andre artikkelen studerer vi den fraksjonale ikke-lineære Schrödinger-ligningen i dimensjon en: $\vert D \vert^\alpha u + u -f(u)=0,$

med $\alpha\in (0,2)$, en gitt koeffisient $p^*(\alpha)$, og en ikke-linæritet $f(u)=\vert u \vert^{p-1}u$ for $p\in(1,p^*(\alpha))$, eller $f(u)=u^p$ med et heltall $p\in[2;p^*(\alpha))$. Vi gir asymptotiske utviklinger av løsningen til første orden ved uendelig. Samt, gir vi andreordens utviklinger for positive løsninger. Disse asymptotiske utviklingene er avhenger av dispersjonskoeffisienten $\alpha$ og ikke-linæriteten $p$. Hovedverktøyene er kernelformuleringen introdusert av Bona og Li [J. Math. Pures Appl. (9) 76 (1997), no. 5, 377-430], og en nøyaktig beskrivelse av kernelen ved hjelp av kompleks analyse.

I den siste artikkelen studerer vi en spesiell asymptotisk oppførsel av en dipolløsning av den fractional modifiserte Korteweg-de Vries-ligningen: $\partial_t u + \partial_x (-\vert D \vert^\alpha u + u^3)=0.$

Dipolløsningen er en løsning som oppfører seg som en sum av to sterkt interaktive solitære bølger med forskjellige fortegn, når tiden er stor nok. Vi beviser eksistensen av en dipol for fmKdV. Et viktig bidrag i denne artikkelen er konstruksjonen av nøyaktige profiler, og dette er nytt for fmKdV ligningen. Dessuten, for å håndtere den ikke-lokale operatoren $\vert D \vert^\alpha$, må vi utbedre noen vektede kommutatorestimater.

This thesis in composed by three articles. In the first one, we construct $N$-soliton solutions for the fractional Korteweg-de Vries (fKdV) equation $\partial_t u - \partial_x\left(|D|^{\alpha}u - u^2 \right)=0,$ in the whole sub-critical range $\alpha \in(\frac12,2)$. More precisely, if $Q_c$ denotes the ground state solution associated with fKdV evolving with velocity $c$, then given $0<c_1< \cdots < c_N$, we prove the existence of a solution $U$ of (fKdV) satisfying $\lim_{t\to\infty} \| U(t,\cdot) - \sum_{j=1}^NQ_{c_j}(x-\rho_j(t)) \|_{H^{\frac{\alpha}2}}=0,$ where $\rho'_j(t) \sim c_j$ as $t \to +\infty$.

The proof adapts the construction of Martel in the generalized KdV setting [Amer. J. Math. 127 (2005), pp. 1103-1140]) to the fractional case. The main new difficulties are the polynomial decay of the ground state $Q_c$ and the use of local techniques (monotonicity properties for a portion of the mass and the energy) for a non-local equation. To bypass these difficulties, we use symmetric and non-symmetric weighted commutator estimates. The symmetric ones were proved by Kenig, Martel and Robbiano [Annales de l'IHP Analyse Non Linéaire 28 (2011), pp. 853-887], while the non-symmetric ones seem to be new.

In the second paper, we consider the fractional nonlinear Schrödinger equation in dimension $1$: $\vert D \vert^\alpha u + u -f(u)=0,$

with $\alpha\in (0,2)$, a prescribed coefficient $p^*(\alpha)$, and a non-linearity $f(u)=\vert u \vert^{p-1}u$ for $p\in(1,p^*(\alpha))$, or $f(u)=u^p$ with an integer $p\in[2;p^*(\alpha))$. Asymptotic developments of order $1$ of the solutions at infinity are given, as well as second order developments for positive solutions, in terms of the coefficient of dispersion $\alpha$ and of the non-linearity $p$. The main tools are the kernel formulation introduced by Bona and Li [J. Math. Pures Appl. (9) 76 (1997), no. 5, 377-430], and an accurate description of the kernel by complex analysis theory.

In the last paper, we study one particular asymptotic behaviour of a solution of the fractional modified Korteweg-de Vries equation (also known as the dispersion generalised modified Benjamin-Ono equation): $\partial_t u + \partial_x (-\vert D \vert^\alpha u + u^3)=0.$

The dipole solution is a solution behaving in large time as a sum of two strongly interacting solitary waves with different signs. We prove the existence of a dipole for fmKdV. A novelty of this article is the construction of accurate profiles. Moreover, to deal with the non-local operator $\vert D \vert^\alpha$, we refine some weighted commutator estimates.