Scattering approaches to modelling and inversion of acoustic and elastic waveform data

Abstract

Spredningsmetoden er kraftig for å løse direkte og inverse spredningsproblemer i forskjellige bølgespredningsscenarioer. Full bølgeforminversjon, sett på som et ikke-lineært invers spredningsproblem, fremstår som en sentral teknikk for høyoppløselig avbildning av komplekse undergrunnsstrukturer og egenskaper i seismisk utforskning. Denne avhandlingen representerer en omfattende undersøkelse av de matematiske og fysiske grunnlagene for spredningstilnærmingen. Ved å bruke denne spredningstilnærmingen utviklet vi effektive full bølgeform fremover og inversjonsalgoritmer for seismisk utforskning.

Denne avhandlingen presenterer en konvergent homotopy spredningsserie løsning for seismisk fremoversimulering innen akustisk medium karakterisert av variabel tetthet og hastighet. Denne løsningen er basert på homotopy-analyse av en Lippmann–Schwinger type vektoriell integralligning. Den vektorielle Lippmann–Schwinger-ligningen kombinerer to koblete integralligninger, en for trykk og den andre for trykkgradient. Vår nye metode oppnår konvergens selv i sterkt spredende media, hovedsakelig på grunn av innføringen av en konvergenskontrolloperatør. Denne operatøren er konstruert ved hjelp av både lav-rang matrise tilnærming og hierarkiske matriser. Sammenlignet med tidligere direkte integralligningsløsere, reduserer vår nye metode beregningskostnadsskalaer fra $ O(N^{3}) $ til $ O(N^{2}) $, hvor $ N $ er antall rutenett brukt i den diskretiserte modellen.

Den forvrengte Born iterative metoden brukes først for å løse det ikke-lineære inverse spredningsproblemet i den skalære bølgespredningen. Denne forskningen foreslår en matrisefri variant av den konvensjonelle forvrengte Born iterative metoden for mono-parameter (hastighet) inversjon, der beregningseffektivitet og minnebruk er betydelig forbedret. Med utgangspunkt i tolkningen av Green's funksjon som bølgefeltresponsen til en punktkilde, kan vi behandle spesifikke vilkår i formuleringen av Fréchet-derivatet og dets adjungerte operatorer som spesifikke bølgefelt. Disse bølgefeltene kan representeres som vektorer, noe som gjør at vi kan konvertere beregningen av Fréchet-derivatet og dets adjungerte operatorer til vektorbaserte operasjoner. Denne forskningen bruker den konvergente spredningsserie iterative metoden og Krylov-undersromsmetoden som fremoversolvere for å løse disse spesifikke bølgefeltene. Ved å utnytte Toeplitz-strukturen til den homogene Green's funksjonen og inkorporere den raske Fourier-transformasjonen i fremoversolveren, oppnår den nye forvrengte Born iterative metoden høy effektivitet med beregningskostnad og minnekrav skala på $ O(N \log N) $ og $ O(N) $ henholdsvis.

Oppmuntret av resultatene fra mono-parameter inversjon basert på den inverse skalære bølgespredningen, presenterer vi deretter en iterativ ikke-lineær invers spredningsalgoritme for akustisk medium med variabel hastighet og tetthet. For å håndtere det flerparameters ikke-lineære direkte spredningsproblemet, bruker vi Lippmann–Schwinger type vektoriell integralligning, løst ved hjelp av en hurtig Fourier-transform akselerert Krylov-undersromsmetode. I invers akustisk spredning er hastighet og tetthet parametrene å hente. For effektivt å løse det flerparameters ikke-lineære inverse spredningsproblemet, foreslår vi en ny variant av Newton–Kantorovich-metoden. I vår metode implementeres også Fréchet-derivatoperatørene og deres adjungerte i en matrisefri måte. Inkludering av omtrentlig Hessian-informasjon reduserer parameterens tverrsnakk betydelig.

Elastodynamiske bølgeligninger har flere parametere enn de akustiske bølgeligningene. For å bruke spredningstilnærmingen for fremover og invers spredningsproblem i den elastiske bølgespredningen, transformerer vi den elastodynamiske bølgeligningen til en integralligning for forskyvningen. Mediet for elastisk bølgepropagering anses å være anisotropisk. Krylov-undersromsmetoden, akselerert av den raske Fourier-transformasjonen, brukes som en effektiv solver i både fremover og inverse spredningsprosesser. Den matrisefrie forvrengte Born iterative metoden utviklet for invers akustisk spredning er utvidet for å rekonstruere alle stivhetsparametrene og tettheten av undersiden, som er verdifull i oljeindustrien. Effektivitet i beregning og lagring gjør at vår metode kan løse 3D-problemer i invers elastisk spredning. Algoritmens evne har blitt demonstrert i inversjoner fra de syntetiske dataene.

Denne avhandlingen presenterer effektive metoder for å løse direkte og inverse spredningsproblemer i forskjellige inhomogene medier. Vi studerer bølgefelter av økende kompleksitet, inkludert skalære bølger, akustiske bølger og elastiske bølger. Mediene for bølgepropagering anses å være isotropiske og anisotropiske. Tetthetsinformasjonen, som vanligvis blir neglisjert i seismisk fremoversimulering og inversjon, ble også inkludert. Selv om vårt hovedfokus er på seismisk relaterte applikasjoner, er metodene som er utviklet i denne avhandlingen også aktuelle for medisinsk ultralydavbildning. I tillegg er de relevante for seismisk overvåking av CO$_{2}$ lagring og karakterisering og overvåking av geotermiske reservoarer.

The scattering approach is powerful for solving direct and inverse scattering problems in various wave scattering scenarios. Full waveform inversion, regarded as a nonlinear inverse scattering problem, emerges as a pivotal technique for high-resolution imaging of complex subsurface structures and properties in seismic exploration. This thesis represents a comprehensive investigation of the mathematical and physical foundations of the scattering approach. Using this scattering approach, we developed efficient full waveform forward and inversion algorithms for seismic exploration.

This thesis presents a convergent homotopy scattering series solution for seismic forward modeling within acoustic media characterized by variable density and velocity. This solution is based on the homotopy analysis of a Lippmann–Schwinger type vectorial integral equation. The vectorial Lippmann–Schwinger equation combines two coupled integral equations, one for pressure and the other for pressure gradient. Our new method achieves convergence even in strongly scattering media, primarily due to introducing a convergence control operator. This operator is constructed using both low-rank matrix approximation and hierarchical matrices. Compared to previous direct integral equation solvers, our new method reduces computational cost scales from $ O(N^{3}) $ to $ O(N^{2}) $, where $ N $ is the number of grids used in the discretized model.

The distorted Born iterative method is used to first solve the nonlinear inverse scattering problem in the scalar wave scattering. This research proposes a matrix-free variant of the conventional distorted Born iterative method for mono-parameter (velocity) inversion, in which computational efficiency and memory use are significantly improved. Drawing on the interpretation of Green's function as the wavefield response to a point source, we can treat specific terms in the formulation of the Fr{\'e}chet derivative and its adjoint operators as specific wavefields. These wavefields can be represented as vectors, enabling us to convert the calculation of the Fr{\'e}chet derivative and its adjoint operators into vector-based operations. This research uses the convergent scattering series iterative method and the Krylov subspace method as forward solvers for solving these specific wavefields. By exploiting the Toeplitz structure of the homogeneous Green's function and incorporating the Fast Fourier Transform into the forward solver, the new distorted Born iterative method achieves high efficiency with the computational cost and memory demand scale at $ O(N \log N) $ and $ O(N) $, respectively.

Encouraged by the results of mono-parameter inversion based on the inverse scalar wave scattering, we subsequently present an iterative nonlinear inverse scattering algorithm for acoustic media with variable velocity and density. To address the multi-parameter nonlinear direct scattering problem, we employ the Lippmann–Schwinger type vectorial integral equation, solved using a the Fast Fourier Transform accelerated Krylov subspace method. In inverse acoustic scattering, velocity and density are the parameters to retrieve. To efficiently solve the multi-parameter nonlinear inverse scattering problem, we propose a new variant of the Newton–Kantorovich method. In our method, the Fr{\'e}chet derivative operators and their adjoints are also implemented in a matrix-free way. Incorporating approximate Hessian information greatly reduces the parameter crosstalk.

Elastodynamic wave equations possess more parameters than the acoustic wave equations. To use the scattering approach for forward and inverse scattering problem in the elastic wave scattering, we transform the elastodynamic wave equation into an integral equation for the displacement. The media for elastic wave propagation is considered to be anisotropic. The Krylov subspace method, accelerated by the Fast Fourier Transform, is utilized as an efficient solver in both forward and inverse scattering processes. The matrix-free distorted Born iterative method developed for inverse acoustic scattering is extended to reconstruct all the stiffness parameters and density of the subsurface, which is valuable in the petroleum industry. Efficiency in computation and storage enables our method to solve 3D problems in inverse elastic scattering. The algorithm's capability has been demonstrated in the inversions from the synthetic data.

This thesis presents efficient methods to solve direct and inverse scattering problems in various inhomogeneous media. We study wavefields of increasing complexity, including scalar waves, acoustic waves, and elastic waves. The media for wave propagation are considered to be isotropic and anisotropic. The density information, usually neglected in seismic forward modeling and inversion, was also included. While our primary focus is on seismic-related applications, the methods developed in this thesis are also applicable to medical ultrasound imaging. Additionally, they are relevant for the seismic monitoring of CO$_{2}$ sequestration and the characterization and monitoring of geothermal reservoirs.