Particle Trajectories in Long Wave Models

Abstract

Atferden og mønstrene til partikkelbaner i bølgebevegelser i grunt vann har blitt studert av forskere i flere tiår, spesielt har egenskapene til strømmer under overflatebølger i grunt vann blitt studert ved bruk av matematiske modeller ut fra et ønske om å lære mer om egenskapene til lange bølger.

I denne avhandlingen er fokuset på partikkelbaner under profilene til overflatebølger på grunt vann. En ny matematisk modell som representerer ulike scenarioer har blitt utviklet for å beskrive noen av egenskapene til bølgene vi studerer her.

I artikkel A brukte vi den regulariserte versjonen av Korteweg-de Vries (KdV)-ligningen, kalt Benjamin-Bona-Mahony (BBM)-ligningen, for å modellere lange bølger på grunt vann. Denne modellen ble brukt for å studere atferden til bølger på overflaten av et fluid uten viskositet. Her beregnet vi partikkelbanene numerisk ved hjelp av hastighetsfelt funnet under arbeid med eksakte løsninger for BBM-ligningen. I tråd med dette utgangspunktet beregnet vi løsninger på lukket form for partikkelbanene analytisk.

I artikkel B er arbeidet sentrert rundt numeriske undersøkelser av partikkelbaner assosiert med forflytningsbevegelsen til lange bølger i vann over en flat bunn, der amplituden er liten men avgrenset, og vi har en skjærstrøm i bakgrunnen. Ved å ta i betraktning antagelsen om at ikke-lineære og dispersive effekter er små og omtrent i samme størrelsesorden, utledet vi ligninger av Boussinesq-type for todimensjonale bølger i vann med en bakgrunnsstrøm der vortisiteten er konstant. Ved videre å avgrense fokuset til bølger som beveger seg kun i en bestemt retning, fant vi en ny versjon av BBM-ligningen som inkluderer vortisitet. For å undersøke partikkelbanene i strømningen utledet vi en approksimativ tilnærming til uttrykkene for fluidhastighetene som dukker opp i forbindelse med utledningen av BBM-ligningen når vortisitetseffekter inkluderes. Flere scenarioer for partikkelbaner under overflatebølger ble undersøkt, blant annet under solitærbølger og under periodiske bølger.

I artikkel C brukte vi KdV-ligningen til å modellere bølger i grensesnittet mellom to ulike lag med forskjellig tetthet i et todelt fluid. For den numeriske beregningen utledet vi de tre ligningene som representerer systemet av Boussinesq-type, og senere reduseres til to ligninger. KdV-ligningen ble utledet som et resultat av å studere bølgene, som beveger seg utelukkende i en retning i det todelte fluidet. Granskningen av partikkelbanene i strømningen førte til utledningen av ligninger for fluidhastighetsfeltet for de eksakte løsningene til KdV-ligningen. I dette arbeidet studerte vi partikkelbanene i strømninger assosiert med solitærbølger.

I artikkel D konsentrerte vi oss om numeriske løsninger for partikkelbaner i sammenheng med solitærbølge-løsningen til Gardner-ligningen, der ligningen er en modell for overflatebølger i vann der vi ser vekk fra viskositet. Et sekundært mål var å finne den maksimale høyden en solitærbølge kan ha uten at bølgebryting oppstår. Gardner-ligningen utledes fra et ligningssystem av Boussinesq-type for overflatebølger. Ved å fokusere kun på bølger som beveger seg i en retning, finner man Gardner-ligningen. Denne ligningen kalles også noen ganger for den utvidede Korteweg-de Vries (eKdV)-ligningen. Utledningen resulterer også i uttrykk for de horisontale og vertikale hastighetskomponentene, som kan brukes for å forstå partikkelbaner og egenskaper ved bølgebryting i sammenheng med den analytiske solitærbølgeløsningen.

The behavior and patterns of the particle trajectories in the wave motion in shallow water have been examined by many researchers for decades, especially the investigation of the properties of flows beneath the surface waves in shallow water have been studied out of curiosity to know more about the features of long waves using mathematical models.

In this thesis, the focus is on particle trajectories beneath the surface wave profile in shallow water. A different mathematical model which represents different cases has been developed to describe some properties of the waves under consideration.

In paper A, the regularized version of the Korteweg-de Vries (KdV) equation called the Benjamin-Bona-Mahony (BBM) equation has been used as a model equation for long waves in shallow water. This model is used to study the behavior of the waves at the surface of the inviscid fluid. Here, the particle paths are computed numerically with the aid of the velocity fields found in connection with the exact solutions of the BBM equation. In line with this concept, we examine the solitary wave and the periodic traveling wave solutions. For comparison purposes, we compute the closed-form solutions of the particle trajectories analytically.

In paper B, the work is centered on the numerical examination of particle trajectories associated with the propagation of long water waves of small but finite amplitude on a background shear flow over a flat bottom. Taking into consideration the assumption that the nonlinear and dispersive effects are small and of the same magnitude, the Boussinesq-type equations for two-dimensional water waves on a background flow with constant vorticity are derived. Restricting attention to waves propagating in a single direction, we find a new version of the BBM equation which takes into account the effect of vorticity. To investigate the particle trajectories of the flow, an approximate velocity field associated with the derivation of the BBM equation over a shear flow is obtained. Several cases of particle paths under surface wave profiles such as solitary waves and periodic traveling waves are examined.

In paper C, the KdV equation is used to model the interfacial waves in the two-layer fluid of different densities. For the numerical computation, the three equations representing the Boussinesq-type system which is later reduced to the two equations were derived. The KdV equation is derived as a result of investigating the waves going in only one direction in the two-layer fluids. The study of the particle paths of the flow led to the derivation of the velocity field connected to the exact solutions of the KdV equation. In this context, the particle trajectories of flows that correspond to the solitary waves were studied.

In paper D, we focus on the numerical evaluation of the particle trajectories associated with the solitary-wave solution of the Gardner equation as a model for water waves at the surface of an inviscid fluid. A secondary objective is to obtain the highest solitary wave which does not feature wave breaking. The Gardner equation is derived from a Boussinesq-type system for surface water waves. By focusing on the one-directional waves, the Gardner equation which is sometimes called the extended Korteweg-de Vries (eKdV) equation is obtained. The derivation also yield expressions for the horizontal and vertical velocity components which can be used to understand particle trajectories and wave-breaking properties in connection with the exact solitary-wave solution.