Rigorous derivation of some asymptotic models for free water surfaces and interfaces

Abstract

Opprinnelsen til moderne matematisk hydrodynamikk kan spores tilbake til 1700-tallet. I 1757 publiserte Euler artikkelen der han introduserte ligninger, i dag kjent som Euler likningene, som kan beskrive væskedynamikk [31]. Hvordan beskrive bølger i væsker ble også studert av Lagrange, Laplace, Poisson, Cauchy og det er fortsatt et aktivt forskningsfelt i dag (for en historisk gjennomgang se [21]). Men fra et praktisk og analytisk perspektiv, er Euler ligningene veldig kompliserte. Det er derfor vanlig å introdusere forenklede modeller, som er karakterisert av dimensjonsløse parametre og som gir en god beskrivelse av den opprinnelige modellen.

I dette arbeidet, utleder vi asymptotiske modeller fra Euler likningene med en fri overflate og for irroterende flyt. Mer spesifikt, så utleder vi flere modeller, hvor vi kvantifiserer feilen med den opprinnelige modellen. Altså, vi beviser at løsningene fra modellen konvergerer til løsningen av referansemodellen med hensyn på noen dimensjonsløse parametre. Vi sier at en modell er fullstendig rettferdiggjort dersom vi kan svare på følgende punkter:

1. Løsningen av referanse modellen eksisterer på den relevante tidsskalaen.

2. Løsningen av den asymptotiske modellen eksisterer (minst) på den samme tidsskalaen.

3. Sist må vi vise at modellene er konsistente. Altså at løsningen av referansemodellen er også en løsning av den asymptotiske modellen opp til gitt toleranse. Deretter må vi vise at differansen mellom disse løsningene er "liten."

Denne oppgaven består hovedsakelig i to deler. Den første delen består av tre artikler som angår utledningen av asymptotiske modeller for å beskrive en enkel væske i grunt vann. I artikkel 1 og 2, studerer vi såkalte Whitham-type modeller som ble tidligere utledet av Emerald [27] hvor han viste at ligningene var konsistente. I dette tilfellet er referansemodellen kjent som vannbølge ligningene, hvor punkt en er bevisst i den viktige artikkelen av Alvarez-Samaniego og Lannes [7]. Dermed, for å fullstendig rettferdiggjøre Whitham-modellene, gjenstår det bare å vise at de eksisterer på den relevante tidsskalaen. I artikkel 3, utleder vi nye modeller, der vi viser at de er konsistente med vannbølge likningene, og hvor presisjonen gir en bedre beskrivelse av endringen av bunnen. Modellene har også en forbedret beskrivelse av dispersjonsforholdet til referansemodellen, og målet er å beskrive bølger som beveger seg over en bunn med bråe endringer. Dette er motivert av de eksperimentelle resultatene i den klassiske artikkelen til Dingemans [23].

I den andre delen av avhandlingen gir vi et bevis for den fullstendige rettferdiggjørelsen av Benjamin-Ono likningen. Dette er en asymptotisk modell som beskriver lange bølger som beveger seg i en retning mellom to fluider. Her er dybden til den ene væsken mye dypere enn den andre. I dette tilfellet er punkt nummer to velkjent, mens det første og tredje punktet er bevist i artikkel 4 av denne avhandlingen. Beviset for at modellene er konsistente er basert på artikkelen til Bona, Lannes, og Saut [14]. Mens eksistens resultatet for det generelle systemet for to væsker på den relevante tidsskalaen er en ikke triviell forlengelse av resultatet til Lannes [40] hvor begge fluidene har en endelig dybde.

The origins of contemporary mathematical hydrodynamics can be traced back to the 18th century. In 1757, Euler published a paper where he introduced equations that could describe the motion of fluids [31], known today as the Euler equations. Other notable figures such as Lagrange, Laplace, Poisson, and Cauchy around this time were also drawn to the study of waves in fluids, which continues to be an active field of research to this day (see [21] for a historical review). However, the Euler equations contain several difficulties related to the complexity of the system, both analytically and in applications. To overcome some of these issues, one typically considers simplified models characterized by dimensionless parameters that describe the main mechanisms involved.

In this work, we rigorously derive asymptotic models from the irrotational Euler equations with a free surface. Specifically, we derive several new models and prove that their solutions converge to the solution of its reference model with respect to the scaling parameters. We say that an asymptotic model is a fully justified if we can answer the following points in the affirmative:

1. The solutions of the reference model exist on the relevant time scale.

2. The solutions of the asymptotic model exist (at least) on the same time scale.

3. We must establish the consistency between the asymptotic model and the reference model. This means the solutions of the reference model solve the asymptotic model up to a certain precision. Then show that the error is "small" when comparing the two solutions.

This thesis consists of two main parts. The first part consists of three papers and concerns the study of asymptotic models in the case of a single fluid in shallow water. In papers 1 and 2, we study Whitham-type systems that were previously derived in the sense of consistency by Emerald [27]. The reference model, in this case, is the \textit{water waves equations}, where the first point is proved in the seminal paper by Alvarez-Samaniego and Lannes [7]. The remaining point in their full justification is to prove the well-posedness of these systems on the relevant time scale. In paper 3, we derive new models, in the sense of consistency, with an improved description of the variation of the bottom toporgaphy. Here, we derive models with improved frequency dispersion, where the goal is to describe waves passing over an obstacle that is studied experimentally in the classical paper by Dingemans [23].

For the second part of the thesis, we prove the full justification of the Benjamin-Ono equation as an asymptotic model for the unidirectional propagation of long internal water waves in a two-layer fluid, where one layer is of great depth. In this case, the second point is well-known, while the first and third point is proved in paper 4. The proof of the consistency is based on the paper by Bona, Lannes, and Saut [14]. While the existence result for the general two-layer fluid model on the relevant time scale is a nontrivial extension of the work of Lannes [40], where both fluids are of finite depth.